Geometrische Körper und ihre Raumstrukturen
Plexiglasspiegel, Plexiglasspionspiegel, ABS-3D-Druck, LEDs, Stromversorgung, Ein/Ausschalter
Weil das Endliche Durchdringung – gleichzeitig Umfassung – des Unendlichen durch sich selbst ist, ist das Unendliche im Endlichen, das Außen im Innen, das Innen im Außen.
Verschiedene geometrische Körper sind innen vollständig verspiegelt. Die Rahmen, in die die Spiegel eingelassen sind, bilden die äußere geometrische Struktur der Körper und sind transparent. Durch Spionspiegel kann man das Licht, das durch die Rahmen eindringt, als Linien innen räumlich sehen.
Rahmen und Beleuchtungen sind aus transparentem ABS (Acrylnitril-Butadien-Styrol) mit einem 3D-Drucker gefertigt. Spiegel und Spionspiegel sind mit einem Lasercutter geschnitten. Warmweiße (3000 Kelvin) LEDs erzeugen gezielt Licht, um die Rahmen zu beleuchten.
Jedes Objekt aus dieser Serie wird auf Bestellung von Hand gefertigt. Deswegen ist jedes Objekt ein Unikat, da bei der manuellen Fertigung immer unterschiedliche kleine Unvollkommenheiten entstehen.
Die Auflage beträgt jeweils 5 Exemplare + 1 AE (hier abgebildet).
Die durch die Beleuchtung entstehenden Lichtlinien im Inneren der Körper enthüllen mit ihren Reflexionen die Dimensionalität der Körper. Da wir nur 3-dimensional sehen können, verändert sich das entstehende Bild der Raumstrukturen durch verschiedene Betrachtungswinkel bei Körpern mit mehr als drei unabhängigen Achsen.
Eigentlich können wir nur zweimal 2-dimensional, also zweimal flächig sehen, interpolieren aber aus dem Abstand zwischen den beiden Betrachtungspunkten (unseren Augen) eine räumliche Tiefe. Zudem dreht unser Gehirn die einfallenden Bilder, die eigentlich auf dem Kopf stehen, noch um 180°.
Unsere Vorstellung von Raum ist in der Regel orthogonal (rechtwinklig) strukturiert. Der entsprechende Körper ist der WÜRFEL, der nur aus Quadraten in rechten Winkeln besteht. Drei der 6 Quadrate stoßen jeweils an den 8 Ecken zusammen.
Das Quadrat ist aber nicht die stabilste mögliche Form in der Ebene. Das Dreieck ist die stabilste Form in der Ebene. Jeweils 2 Seiten bilden einen Hebel, der durch die dritte Seite blockiert wird. Entsprechend sind Körper aus Dreiecken stabiler als der Würfel.
Die kleinste und stabilste räumliche Form aus 4 gleichseitigen Dreiecken ist der TETRAEDER. Dieser Körper hat aber schon 4 unabhängige sogenannte dreizählige Drehachsen (Von einer Ecke durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite um 120°, 240° und 360° gedreht, bildet er sich auf sich selbst ab). Das gleiche gilt für Spiegelungen und Drehspiegelungen an festen Symmetrieebenen. Damit ist er schon ein 4-dimensionaler Körper.
Gleichzeitig ist der Tetraeder auch ein 3-dimensionaler Körper, da er auch 3 vierzählige Drehachsen (90°, 180°, 270°, 360°) durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten besitzt. Seine Struktur kommt in vielen Kristallsystemen vor.
Im Methanmolekül sind die 4 Wasserstoffatome tetraedrisch um das Kohlenstoffatom angeordnet; ebenso beim Diamantgitter.
Der OKTAEDER besteht aus 8 gleichseitigen Dreiecken und lässt nur mit sich selbst kombiniert im 3-dimensionalen Raum Lücken. Auch er hat, wie der Tetraeder, 3 vierzählige und 4 dreizählige Drehachsen, ist also auch ein 4-dimensionaler Körper. Mit seinen 6 Ecken, an denen jeweils 4 Flächen zusammentreffen, und 12 Kanten ist er der duale Körper zum Hexaeder (Würfel). Die Ecken des Oktaeders sind die Mittelpunkte der Würfelseiten. Wegen seiner Eigenschaften ist er der Namensgeber für eine Symmetriegruppe, die Oktaedergruppe. Als Form findet man den Oktaeder auch in natürlichen Kristallen. (z.B. Alaun, Natriumchlorid)
Erst die KOMBINATION aus OKTAEDER und TETRAEDER ergeben eine raumfüllende 3-dimensionale Struktur.
Der RHOMBENDODEKAEDER ist ein Körper, der den 3-dimensionalen Raum mit sich selbst kombiniert lückenlos ausfüllt. Diese räumliche Struktur mit seinen 14 Ecken und 24 Kanten entspricht der Raumwahrnehmung der Bienen, die auch ihre Waben an diese Form angelehnt bauen. Er ist der duale Körper zum Kuboktaeder.
Die Diagonalen des Rhombendodekaeders stehen im Verhältnis 1 : √2.
Der IKOSAEDER (20 gleichseitige Dreiecke) hat 12 Ecken, an denen jeweils 5 der 30 Kanten zusammentreffen. Mit seinen 6 fünfzähligen Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken), 10 dreizähligen Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen) und 15 Symmetrieebenen bildet er die Grundlage für eine eigene Symmetriegruppe, die Ikosaedergruppe.
Durch die vielen Achsen verändert sich die Raumstruktur, die wir mit unserer 3-dimensionalen Wahrnehmung sehen, abhängig von unserem Blickwinkel, in dem wir die Spiegelungen betrachten.
Bei allen zur Ikosaedergruppe gehörenden Körper ist der „Goldene Schnitt“, einer der häufigsten Proportionen, die in natürlichen Wachstumsprozessen vorkommen, ein wesentlicher Aspekt der Geometrie. Die Hülle von vielen Viren ist in Form eines Ikosaeders.
Der PENTAGONDODEKAEDER ist der duale Körper zum Ikosaeder. Er besteht aus 12 gleichseitigen Fünfecken, der dritten geometrischen Form in der Ebene, die sich in den Raum erheben kann.
Das Sechseck füllt die Fläche bereits komplett aus, sodass es sich allein nicht in den Raum zu einem geschlossenen Körper erheben kann. Die 20 Ecken und 30 Kanten formen die gleichen Drehachsen wie beim Ikosaeder. Ebenso ist die Punktspiegelung am Mittelpunkt beiden gemeinsam.
Die fünfzähligen Symmetrieachsen (Drehungen um 72° und Vielfache davon) verändern den Körper nicht. Gleichzeitig verhindern sie aber eine 3-dimensionale periodische Raumstruktur. Daher gibt es keine Kristallgitterstruktur in der Ikosaedergruppe.
Der BUCKYBALL oder IKOSAEDERSTUMPF ist eine sehr beliebte Form des Fußballs. Erst in der Kombination mit einer anderen Form, hier dem Fünfeck, gestaltet das Sechseck einen regelmäßigen Körper mit. 12 Fünfecke und 20 Sechsecke ergeben die 32 Flächen, die mit 60 Ecken und 90 gleichlangen Kanten diese Struktur formen, auch als Fulleren oder C60 Kohlenstoffmolekül bekannt. Richard Buckminster Fuller, dessen Spitzname „Bucky“ war, ist Namensgeber, weil die Struktur den geodätischen Kuppeln von ihm ähneln. Konstruieren lässt er sich auch durch Abschneiden der Ecken eines Ikosaeders. Er gehört auch zur Ikosaedergruppe.
Dieser Buckyball ist in der Größe 5, dem internationalen Standard für die Abmessungen des Fußballs, gebaut. (68-70 cm Umfang)
Der KUBOKTAEDER oder – wie Fuller diesen Körper nannte – VECTOR EQUILIBRIUM besteht aus 8 Tetraedern, deren jeweils eine Spitze im Mittelpunkt des Körpers zusammentreffen. Sie sind spiegelbildlich gepaart entlang der 4 Symmetrieachsen eines Tetraeders mit dem Tetraederwinkel cos r = -1/3 = 109°28‘16“. Die Lücken zwischen den außen liegenden Tetraederdreiecken werden von 6 Quadraten geschlossen. Diese sind jeweils die Grundfläche einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide oder eines halben Oktaeders. Auch deren Spitzen laufen im Zentrum zusammen.
Der Name Vector Equilibrium erklärt sich dadurch, dass alle Vektoren – die 24 Kanten sowie die Verbindungslinien von den 12 Ecken zum Mittelpunkt – gleich lang sind.
Der RHOMBEN TRIAKONTAEDER ist der Körper mit den meisten möglichen Flächen aus einer ebenen Figur. Das Diagonalenverhältnis der 30 Rhomben ist der „Goldene Schnitt“. Somit gehört er mit seinen 32 Ecken und 60 Kanten zur Ikosaedergruppe.
Nachdem nun die Körper mit gleichen Grundflächen gebaut sind (Ausnahme Buckyball und Kuboktaeder), habe ich begonnen verschiedene und gleiche Körper zu kombinieren.
Ein Element aus der Papierskulptur „Iterating sqrt(2)“ ist die Kombination aus einem halben Oktaeder und 2 Viertel-Tetraedern. Die Raute des Bodens verkleinert sich um den Faktor Wurzel aus 2 und dreht sich um 90°.
Tetra 4D ist die dreidimensionale Abwicklung des 4-dimensionalen Tetraeders, auch Simplex genannt. Dabei wird jede Spitze des Tetraeders durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite gezogen, sodass wieder ein Tetraeder gleicher Größe auf der Seite entsteht. 4 Tetraeder umgeben einen zentralen Tetraeder.
Dieses Objekt ist, anders als die restlichen Objekte dieser Reihe, ein Unikat.
Ikosaderkappendiamant
Ein Ikosaeder ist in 20 Tetraeder zerlegbar. Die Tetraeder der Ikosaederkappe sind nicht regelmäßig. Das Dreieck, das nach außen zeigt, ist gleichseitig und hat eine größere Kantenlänge als die Kanten, die im Mittelpunkt der Ikosaederkappe zusammenlaufen. 5 dieser Tetraeder bilden eine Art 10-seitigen Diamanten, dessen obere Hälfte eine Ikosaederkappe ist.
