Formeln, Strukturen, Beweisideen

Auf dieser Seite veröffentliche ich zahlentheoretische Formeln und Beweisideen, die ich selbst gefunden habe. Oft stehen sie im Zusammenhang mit Bekanntem (alt oder relativ neu wie oeis.org), gehen aber darüber hinaus. Sicherlich ist es auch möglich, dass Andere diese Erkenntnisse auch schon hatten, die ich aber in den mir zugänglichen Veröffentlichungen nicht gefunden habe.

Formeln mit den Dreieckszahlen Δn für n ≥ 0. Eulers Formel zur Berechnung der Dreieckszahl:

Verschiedene Potenzen der natürlichen Zahlen lassen sich mit den Dreieckszahlen in Produkten und Summen bzw. als Reihe von unendlichen Summen darstellen. Bekannt für n > 0 ist:

Neu ist die Formel für die Quadrate ungerader Zahlen, für n ≥ 0:

Neu ist für n > 0:

für n > 1:

Formeln für die Entwicklung der Perioden von Kehrwerten für Zahlen mit den Endziffern 1, 3, 7, 9

Der Kehrwert einer Zahl z ist 1/z. Für Zweierpotenzen steht hinter dem Komma immer die entsprechende Fünferpotenz mit gleicher Anzahl an Stellen und umgekehrt. Z.B.:

1/8 = 0,125 23 = 8, 53 = 125

1/625 = 0,0016 54 = 625, 24 = 16

Andere gerade Zahlen sind Produkte von Primzahlen mit Zweierpotenzen. Die Endziffern 0 und 5 bedeuten eine Teilbarkeit durch 5, bei der eine Primzahl als Faktor übrig bleibt. Die möglichen Endziffern von Primzahlen sind 1, 3, 7 und 9. Kehrwerte von Zahlen mit diesen Endziffern bilden Perioden. Diese Perioden sind als unendliche Summen formulierbar. Die Summenformeln zur Entwicklung dieser Perioden sind hier.

Strukturen in Primzahlen

Primzahlen sind gruppierbar oder in Familien unterteilbar. Man kann diese Gruppen oder Familien mit algebraischen Ausdrücken charakterisieren. Das Umgekehrte gilt nicht. Die algebraischen Ausdrücke liefern mit ihren Variablen nicht nur Primzahlen. Dennoch sind innerhalb der Primzahlen damit Strukturen erkennbar. Die Strukturen sind die Abstände zwischen den Primzahlen, die mit den gemeinsamen Abstandsregeln auch bestimmte Eigenschaften gemeinsam haben. Diese Strukturen setzen sich ins Unendliche fort. Wir betrachten also Strukturen des Unendlichen.

Die bekannteste Gesetzmäßigkeit, der Primzahlen gehorchen, ist 6n ∓ 1. Eine genauere Untersuchung, was daraus abzuleiten ist, findet sich hier.

Beweisideen

Die hier vorgestellten Beweisideen entsprechen vielleicht nicht den strengen formalen Anforderungen eines (akademischen) mathematischen Beweises. Die gedanklichen Ansätze sind aber schlüssig durchgeführt und so (meiner Recherche nach) noch nicht publiziert.

Die Goldbachsche Vermutung

„Jede natürliche gerade Zahl n ≥ 6 ist als Summe von zwei ungeraden Primzahlen darstellbar. Jede natürliche ungerade Zahl n ≥ 9 ist als Summe von drei ungeraden Primzahlen darstellbar.“

Das Problem die Goldbachsche Vermutung zu beweisen besteht darin, dass die Primzahlen nicht mit einem Algorithmus darstellbar sind. Es bedarf also einer anderen Betrachtungsweise, um sich diesem Phänomen zu nähern. Die Kernidee besteht in der Betrachtung der Abstände der Primzahlen, die immer gerade sind. Die ausführliche Beweisidee findet sich hier.

Die Collatz-Vermutung

Die Collatz-Vermutung basiert auf einer Iteration mit zwei Vorschriften:

„Jede gerade natürliche Zahl wird durch 2 geteilt, jede ungerade natürliche Zahl wird mit 3 multipliziert und 1 addiert. Alle natürlichen Zahlen enden in der Schleife 4, 2, 1.“

Die Kernidee hier ist den Iterationsprozess umzukehren. Daraus ergibt sich die Verbindung der Restklassenelemente mod 3 als Potenzen von 4, die die Strukturen dieser Vermutung erzeugen. Die ausführliche Untersuchung findet sich hier.